f(x)=x+1/x在[1/2,1]的单调性及最值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2021/09/17 06:53:46

f(x)=x+1/x在[1/2,1]的单调性及最值
f(x)=x+1/x在[1/2,1]的单调性及最值

f(x)=x+1/x在[1/2,1]的单调性及最值
高一?还没学对勾函数(也称耐克函数)吧?那只能用定义证明了:
令1/2≦x1

求导知当〔-1 1〕时单减,大于1或小于-1时单增

直接用定义证明,设x1,x2属于[1/2,1],且有x1f(x1)-f(x2)=(x1+1/x1)-(x2+1/x2)=(x1-x2)+(1/x1-1/x2)=(x1-x2)+(x2-x1)/(x1*x2)=(x1-x2)(1-1/(x1*x2))>0,则f(x)=x+1/x在[1/2,1]是单调减函数,
因此,当x=1/2时,有最大值为f...

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直接用定义证明,设x1,x2属于[1/2,1],且有x1f(x1)-f(x2)=(x1+1/x1)-(x2+1/x2)=(x1-x2)+(1/x1-1/x2)=(x1-x2)+(x2-x1)/(x1*x2)=(x1-x2)(1-1/(x1*x2))>0,则f(x)=x+1/x在[1/2,1]是单调减函数,
因此,当x=1/2时,有最大值为f(1/2)=1/2+2=5/2;当x=1时,有最小值为f(1)=1+1=2

收起

f(x)≥2√(x*1/x)=2
当且仅当x=1/x时,等号成立
此时x²=1
因x∈[1/2, 1]
所以x=1时,f(x)最小=2
x=1/2时,f(x)最大=f(1/2)=5/2
f(x)单调递减

f(x)=x+1/x≥2 x=1/x=1
f'(x)=0 x=1(拐点)
f(x)=x+1/x在[1/2,1]的单调递减及最小值2 ,最大值2.5